matematicas: intervalos de numeros reales

INTERVALOS DE NUMEROS REALES

Un intervalo es un subconjunto

I

ℝ. A tal subconjunto se le exige que para cualesquiera

u,w \in I

y todo

v \in R

con

u< v < w

se satisfaga que

v \in I

. ²
Específicamente, un intervalo real es un subconjunto conexo de la recta real

\R

. Es un conjunto Un intervalo

J

es una parte de

\R

que verifica la siguiente propiedad:

Si $r$ y $t$ son elementos de $J$ con $r \le t$ , entonces para todo $s$ tal que $r \le s \le t$ , se cumple que $s \in J$

Notación

Existen dos notaciones principales: en un caso se utilizan corchetes y corchetes invertidos, en el otro corchetes y paréntesis; ambas notaciones están descritas en el estándar internacional ISO 31-11.

Intervalo abierto

No incluye los extremos.

$(a,b)\$ o bien $]a,b[\$
Notación conjuntista o en términos de desigualdades:

I = (a,b) \Leftrightarrow

\forall x \in I: \quad a < x < b

En la definición de límite ordinario de una función real se considera como dominio un intervalo abierto que contiene al punto de acumulación.

En la topología usual de la recta (o

\R

) se usa un intervalo abierto para definir un conjunto abierto en dicha topología. En la topología usual de

\R

, un intervalo abierto es un conjunto abierto. El intervalo abierto (a, b) es igual a su interior, su frontera es el conjunto {a, b} y su clausura es el intervalo cerrado [a, b].⁴ No tiene puntos aislados, mientras que todos su puntos son puntos de acumulación del mismo intervalo.⁵

Intervalo cerrado

Sí incluye los extremos.

Que se indica: $I = [a,b]\$

En notación conjuntista:

I = [a,b] \Leftrightarrow

\forall x \in I: \quad a \le x \le b

Si incluye únicamente uno de los extremos.

Con la notación $(a,b]\$ o bien $]a,b]\$ indicamos.

En notación conjuntista:

I = (a,b]\Leftrightarrow

\forall x \in I: \quad a < x \le b

Y con la notación $[a,b)\$ o bien $[a,b[\$ ,

En notación conjuntista:

I = [a,b)\Leftrightarrow

\forall x \in I: \quad a \le x < b

Los cuatro tipos de intervalos anteriores se llaman finitos; los expertos asignan como su longitud |b- a|. Son muy útiles en el análisis matemático y en los temas de topología general, para el estudio de diferentes conceptos como clausura, interior, frontera, conexidad, etc.⁶ Se usan en definición de funciones como la función máximo entero, o la función techo o función piso en matemáticas discretas y para la solución de ecuaciones que conllevan valor abosoluto, la función signo, etc.⁷

Los intervalos finitos tienen un centro de simetría que es (a + b)/2, llamado punto medio, donde los extremos son a y b con a < b. En el caso a=b, no existe punto medio y el intervalo abierto es ∅.⁸

Intervalo infinito

Incluye un extremo e infinito por la derecha.

Con la notación $[a,\infty)\$ indicamos.

En notación conjuntista:

I = [a,\infty)\Leftrightarrow

\forall x \in I: \quad a \le x

Sin incluir el extremo:

Y con la notación $(a,\infty)$ ,

I = (a,\infty)\Leftrightarrow

\forall x \in I: \quad a < x

Incluye un extremo e infinito por la izquierda.

Con la notación $(-\infty, a]\$ indicamos.

En notación conjuntista:

I = (-\infty, a]\Leftrightarrow

\forall x \in I: \quad x \le a

Sin incluir el extremo:

Y con la notación $(-\infty,a)$ ,

En notación conjuntista:

I = (-\infty,a)\Leftrightarrow

\forall x \in I: \quad x < a

Para todo valor real:

Y con la notación $(-\infty,\infty)$ ,

En notación conjuntista:

I = (-\infty,\infty)\Leftrightarrow

\forall x \in R

Familia de intervalos

Operaciones con intervalos

En notación conjuntista: supongamos el conjunto A:

A =\{ x, \; x \in R : \quad x < 4 \}

Esto se lee: A es el conjunto de todos los números reales x tal que x es menor que cuatro.

Y el conjunto B:

B = \{ x , \; x \in R : \quad 9 < x \}

B es el conjunto de todos los números reales x, tal que 9 es menor que cualquier x .

El conjunto unión de A y B sería:

A \cup B = \{ x , \; x \in R : \quad x < 4 \; \lor \; 9 < x \}

O también se puede anotar:

x \in (-\infty, 4) \cup (9, \infty)

Un elemento está en la unión de dos o más conjuntos s.s.s. está por lo menos en uno de ellos.

El conjunto intersección de A y B no existe ⁹ :

A \cap B = \{ x , \; x \in R : \quad x < 4 \; \land \; 9 < x \}

porque A y B no tienen puntos en común.

A \cap B = \varnothing

Definido el conjunto C:

C = \{x , \; x \in R : \quad -3 < x < 15 \}

Es decir, que el conjunto C toma valores entre -3 y 15, siempre siendo x un número real.

El conjunto intersección de A y C es:

A \cap C = \{x , \; x \in R : \quad -3 < x < 4 \}

El conjunto intersección es aquel que toma los valores en común entre todos los conjuntos incluidos.

Entorno simétrico

Artículo principal: Entorno (matemática)

Un entorno simétrico o entorno de centro a y radio r se representa:

Con la notación $E(a,r)\$ indicamos.

I = E(a,r)\Leftrightarrow

\forall x \in I: \quad a-r < x < a+r

Entorno reducido

Un entorno reducido de centro a y radio r se representa:

Con la notación $E^{\star}(a,r)\$ indicamos.

I = E^{\star}(a,r), \quad \forall x \in I: \quad x \in E(a,r) \; - \; \{ a \}

Un entorno reducido de un punto p es un entorno de p, menos {p}. Por ejemplo, el intervalo (−1, 1) = {y: −1 < y < 1} es un entorno de p = 0 en la recta real, entonces el conjunto (−1, 0) ∪ (0, 1) = (−1, 1) − {0} es un entorno reducido de 0.

Nota

Si a > b, los intervalos descritos no poseen elementos y denotan al conjunto vacío.
(a,a), [a,a) y (a,a] denotan también al conjunto vacío.
[a,a] denota al conjunto unitario {a}, también llamado intervalo degenerado.
Estas notaciones también se utilizan en otras áreas de las matemáticas; por ejemplo, la notación $(a,b)\$ , denota unpar ordenado en teoría de conjuntos; las coordenadas de un punto o un vector en geometría analítica y álgebra lineal; un número complejo en álgebra.
Ambas notaciones admiten el símbolo de infinito ( $\infty$ ) para indicar que no hay cota.

Ejemplos gráficos[editar]

Gráfica de una función en un intervalo.

Transformación lineal de intervalos.

Línea numérica.

Clasificación

Se pueden clasificar los intervalos según sus características topológicas (intervalos abiertos, cerrados, semiabiertos) o según sus características métricas (longitud: nula, finita no nula, infinita).

La siguiente tabla resume los 11 casos posibles, con a ≤ b, y x perteneciente al intervalo:

Notación	Intervalo	Longitud	Descripción
$[a, b] \,$	$a \le x \le b$	$b-a \,$	Intervalo cerrado de longitud finita.
$[a, b[ \ \ \mathrm{ \acute o } \ \ [a, b) \!$	$a \le x < b\!$	$b-a \,$	Intervalo semiabierto (cerrado en a, abierto en b).
$]a, b] \ \ \mathrm{ \acute o } \ \ (a, b] \!$	$a < x \le b$	$b-a \,$	Intervalo semiabierto (abierto en a, cerrado en b).
$]a, b[ \ \ \mathrm{ \acute o } \ \ (a, b) \!$	$a<x<b \!$	$b-a \,$	Intervalo abierto.
$]-\infty, b[ \ \ \mathrm{ \acute o } \ \ (- \infty, b) \!$	$x < b \!$	$\infty$	Intervalo semiabierto.
$]-\infty, b] \ \ \mathrm{ \acute o } \ \ (- \infty, b] \!$	$x \le b \!$	$\infty$	Intervalo semiabierto.
$[a, \infty [ \ \ \mathrm{ \acute o } \ \ [a, \infty ) \!$	$x \ge a \!$	$\infty$	Intervalo semiabierto.
$]a, \infty [ \ \ \mathrm{ \acute o } \ \ (a, \infty ) \!$	$x > a \!$	$\infty$	Intervalo semiabierto.
$]\infty, + \infty [ \ \ \mathrm{ \acute o } \ \ (\infty, + \infty ) \!$	$x \in \mathbb{R} \!$	$\infty$	Intervalo a la vez abierto y cerrado.
$\{ a \} \!$	$x=a \!$	$0 \!$	Intervalo cerrado de longitud nula (intervalo degenerado).
$\{\} = \emptyset\!$	sin elemento	cero	Conjunto vacíoIntervalo abierto (a,a).

¹⁰

Caracterización

Intervalo cerrado

El número real x está en

I= [a, b] \,

si sólo si

a \le x \le b

. Los puntos a y b son elementos del intervalo cerrado I; aes el ínfimo y b el supremo. El intervalo cerrado es la clausura del intervalo abierto y los semiabiertos con extremos a yb con

a \le x \le b

. El intervalo abierto

\ \ (a, b) \!

es el interior del intervalo cerrado de extremos a y b; y estos puntos son los únicos que están en la frontera del intervalo cerrado

I= [a, b] \,

; este es un conjunto cerrado y compacto con la topología usual de la recta . ¹¹

Propiedades

La intersección de intervalos de $\R$ es también un intervalo.
La unión de intervalos de $\R$ no siempre es un intervalo (lo será si la intersección es no vacía).
Los conjuntos conexos de $\R$ son exactamente los intervalos.¹²
Los intervalos cerrados sobre una recta se denominan «segmento de recta», son conjuntos cerrados según la topología usual, conexos y compactos.¹³
La imagen por una función continua de un intervalo de $\R$ es un intervalo de $\R$ . Esta es una formulación delTeorema del valor intermedio.
Según la topología usual de ℝ, un conjunto abierto es la unión de intervalos abiertos.¹⁴

Aritmética de intervalos

Sean I = [a, b] y J = [c, d] con a ≤ x ≤ b, y c ≤ y ≤ d.

Entonces: a + c ≤ x + y ≤ b + d. Lo que justifica que

I + J = [ a + c, b + d ].

I - J = [ a - d, b - c ].

Si se toman a, b, c y d positivos no nulos, I · J = [ ac, bd ] y I / J = [ a/d, b/c ].

Generalización

Un intervalo n-dimensional se define como un subconjunto de

\R^n

, que es el producto cartesiano de n intervalos:

I = I_1\times I_2 \times \cdots \times I_n

, uno en cada eje de coordenadas......

Entorno de centro a y radio ε.

En términos topológicos, en el espacio métrico

\R

usual los intervalos son las bolas abiertas y cerradas. De manera más general, se le llama vecindad o entorno de centro a y radio ε, al conjunto de puntos x cuya distancia a a es menor que ε.

E (a ; \epsilon) = \left\{ x \in \R \ : \ |x - a| < \epsilon \right\}

medible y tiene la misma cardinalidad de la recta real.³

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lunes, 29 de febrero de 2016

intervalos de numeros reales

Notación

Intervalo abierto

Intervalo cerrado

Intervalo infinito

Familia de intervalos

Operaciones con intervalos

Entorno simétrico

Entorno reducido

Nota

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Clasificación

Caracterización

Intervalo cerrado

Propiedades

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Generalización

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