lunes, 29 de febrero de 2016

TRUNCAMIENTO Y REDONDEO

TRUNCAMIENTO  Y REDONDEO
En el matemático del análisis numérico, truncamiento es el término usado para reducir el número de dígitos a la derecha del separador decimal, descartando los menos significativos.
Por ejemplo dados los números reales:
3,14159265358979...
32,438191288
6,3444444444444
-3.23456789...

Para truncar estos números a 4 dígitos decimales, sólo consideramos los 4 dígitos a la derecha de la coma decimal.
El resultado es:
3,1415
32,4381
6,3444
-3.2345
Nótese que en algunos casos, el truncamiento dará el mismo resultado que justo en el redondeo, pero el truncamiento redondea hacia abajo los dígitos, cortando en el dígito especificado (salvo cuando los sucesores dígitos sean 0, en cuyo caso el truncamiento será indistinto). El error de truncamiento puede ser hasta el doble del error máximo que se puede tener usando redondeo. En binario es el mismo procedimiento.

El redondeo es el proceso mediante el cual se eliminan cifras significativas de un número a partir de su representación decimal, para obtener un valor aproximado. Se simboliza con ≈. Por ejemplo 2,95 ≈ 3 o √2 ≈ 1,414 . Se utiliza con el fin de facilitar los cálculos. Como desventaja, al calcular con valores aproximados se acumulan errores de redondeo que pueden hacer variar significativamente el valor estimado obtenido respecto del valor real Las reglas del redondeo se aplican al decimal situado en la siguiente posición al número de decimales que se quiere transformar, es decir, si tenemos un número de 3 decimales y queremos redondear a la centésima, se aplicará las reglas de redondeo:
  • Dígito menor que 5: Si el siguiente decimal es menor que 5, el anterior no se modifica.
Ejemplo: 12,612. Redondeando a 2 decimales se debe tener en cuenta el tercer decimal: 12,612 ≈ 12,61.
  • Dígito mayor o igual que 5: Si el siguiente decimal es mayor o igual que 5, el anterior se incrementa en una unidad.
Ejemplo: 12,618. Redondeando a 2 decimales se debe tener en cuenta el tercer decimal: 12,618 ≈ 12,62
Ejemplo: 2,3571 redondeado a la centésima es 2,36 , debido a que 2,3571 está más cerca de 2,36 que de 2,35.

Método de redondeo

En los siguientes ejemplos, se desea redondear cada número a las centésimas (el último dígito requerido es el segundo dígito después de la coma decimal):
a) 4,123 ⇒ Regla 1: Si el dígito a la derecha del último requerido es menor que 5, el último dígito requerido se deja intacto. Respuesta: 4,12
b) 8,627 ⇒ Regla 2: Si el dígito a la derecha del último requerido es mayor que 5, el último dígito requerido se aumenta una unidad. Respuesta: 8,63
c) 9,425110 ⇒ Regla 3: Si el dígito a la derecha del último requerido es un 5 no seguido de ceros, el último dígito requerido se aumenta una unidad. Respuesta: 9,43
d) 7,385 o 7,385000 ⇒ Regla 4: Si el dígito a la derecha del último requerido es un 5 seguido de ceros, el último dígito requerido se deja intacto si es par. Respuesta: 7,38
e) 6,275 o 6,275000 ⇒ Regla 5: Si el dígito a la derecha del último requerido es un 5 o seguido de ceros, el último dígito requerido se aumenta una unidad si es impar. Respuesta: 6,28

Operaciones aritméticas

    84,25 \times 22,3 = 1.878,775 \approx 1,88 \times 10^3
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    polinomios

    POLINOMIOS
    En matemáticas, un polinomio  y este del griego ‘ ‘regla’, ‘prescripción’, ‘distribución’)1 2 3 es una expresión matemática constituida por un conjunto finito de variables (no determinadas o desconocidas) y constantes (números fijos llamados coeficientes), utilizando únicamente las operaciones aritméticas de suma, resta y multiplicación, así como también exponentes enteros positivos. En términos más precisos, es unarelación n-aria de monomios, o una sucesión de sumas y restas de potencias enteras de una o de varias variables indeterminadas.
    Es frecuente el término polinómico (ocasionalmente también el anglicismo polinomio), como adjetivo, para designar cantidades que se pueden expresar como polinomios de algún parámetro, como por ejemplo: tiempo polinómico
    Los polinomios son objetos muy utilizados en matemáticas y en ciencia. En la práctica, son utilizados en cálculo y análisis matemático para aproximar cualquier función derivable; las ecuaciones polinómicas y las funciones polinómicas tienen aplicaciones en una gran variedad de problemas, desde la matemática elemental y el álgebra

    Polinomios de una variable[editar]

    Para a0, …, an constantes en algún anillo A (en particular podemos tomar un cuerpo, como \scriptstyle\mathbb{R} o \scriptstyle\mathbb{C}, en cuyo caso los coeficientes del polinomio serán números) con an distinto de cero y n \in \mathbb{N}, entonces un polinomio P_{}^{} de grado n en la variable x es un objeto de la forma
    P(x)_{}^{} = a_n x^n + a_{n-1} x^{n - 1}+ \cdots + a_1 x^{1} + a_0 x^{0}.
    Un polinomio P(x) \in K[x] no es más que una sucesión matemática finita \left\{{a_n}\right\}_n tal que a_n \in K.
    Representado como:
    P(x)_{}^{}=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n
    el polinomio se puede escribir más concisamente usando sumatorios como:
    P(x) = \sum_{i = 0}^{n} a_{i} x^{i}.
    Las constantes a0, …, an se llaman los coeficientes del polinomio. A a0 se le llama el coeficiente constante (o término independiente) y a an, el coeficiente principal. Cuando el coeficiente principal es 1, al polinomio se le llama mónico o normalizado.

    Polinomios de varias variables

    Como ejemplo de polinomios de dos variables, desarrollando los binomios:
    (2)\begin{cases} (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\\ (x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3\\ (x + y)^4 = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4 \end{cases}
    Estos polinomios son mónicos, homogéneos, simétricos y sus coeficientes son coeficientes nominales
    Para obtener la expansión de las potencias de una resta (véase productos notables), basta con tomar -y en lugar de y en el caso anterior. La expresión (2) queda de la siguiente forma:
    (x-y)^2=x^{2}-2xy+y^{2}\,
    Los polinomios de varias variables, a diferencia de los de una variable, tienen en total más de una variable. Por ejemplo los monomios:
    5xy, 3xz^2, 4xy^2z, \dots
    En detalle el último de ellos 4xy_{}^2z es un monomio de tres variables (ya que en él aparecen las tres letras x, y y z), el coeficiente es 4, y los exponentes son 1, 2 y 1 de x, y y z respectivamente.

    Grado de un polinomio[editar]

    Artículo principal: Grado (polinomio)
    Se define el grado de un monomio como el exponente de su variable. El grado de un polinomio es el del monomio de mayor grado.
    Ejemplos
    P(x) = 2, polinomio de grado cero (el polinomio solo consta del término independiente).
    P(x) = 3x + 2, polinomio de grado uno.
    P(x) = 3x² + 2x, polinomio de grado dos.
    P(x) = 2x3+ 3x + 2, polinomio de grado tres.
    P(x) = 4x4+ 4x + 2, polinomio de grado cuatro.
    P(x) = 2x5+ 3x + 1, polinomio de grado cinco.
    Convencionalmente se define el grado del polinomio nulo como \scriptstyle -\infty.
    En particular los números son polinomios de grado cero.a hasta áreas como la física, química, economía y las ciencias 
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    operaciones con polinomios

    OPERACIONES  CON  MONOMIOS
    Monomio es una expresión algebraica en la que se utilizan exponentes naturales de variables literales que constan de un solo término (si hubiera una suma o una resta sería un binomio), un número llamado coeficiente. Las únicas operaciones que aparecen entre las letras son el producto y la potencia de exponentes naturales. Se denomina polinomio a la suma de varios monomios. Un monomio es una clase de polinomio con un único término.
    Ejemplos:
    5x^4y^6 \; , \quad -x \; , \quad 0.5 y^8w^{12}
    Son monomios, pero:
    x^{-1} \; , \quad 5x^{3/2}
    no son monomios, porque los exponentes no son naturales monomio posee una serie de elementos con denominación específica.
    Dado el monomio:
    5x^3 \;
    se distinguen los siguientes elementos:
    El signo te indica si es negativo (–). Se omite si es positivo (+) , y nunca puede ser cero ya que la expresión completa tendría valor cero.
    La parte literal la constituyen las letras de la expresión.
    El grado puede ser absoluto (la suma de los exponentes de su parte literal) o con relación a una letra.
    Si un monomio carece de signo, equivale a positivo (+).
    Si un monomio carece de coeficiente, este equivale a uno.
    Si algún término carece de exponente, este es igual a uno.
    Si alguna parte literal no está presente, pero se requiere, entonces se considera con exponente cero, ya que:
    \forall x \in \mathbb{R} - \{ 0 \} \; : \quad x^{0} = 1
    Dada una variable x \;, un número natural a \; y un número real  \alpha \; la expresión:
    \alpha \cdot x^a = \alpha x^a
    es un monomio.
    Si tenemos varias variables: x_1,\ldots,x_n, el número real  \alpha \; y los números naturales a_1,\ldots,a_n \,, el producto correspondiente:
    \alpha \cdot x_1^{a_1}\cdot x_2^{a_2}\cdot\ldots \cdot x_n^{a_n} = \alpha x_1^{a_1} x_2^{a_2}\ldots x_n^{a_n} = \alpha \prod_{i=1}^{n}x_{i}^{a_{i}}
    también es un monomio.

    Grado de un monomio

    El grado absoluto de un monomio es igual a la suma de los exponentes de las variables que lo componen.
    Ejemplos
    5x^2 y \; tiene grado 3
    pues equivale a la expresión:  5\cdot x^2 \cdot y^1 \; y la suma de los exponentes es 2 + 1 = 3
    x \; tiene grado 1
    pues equivale a  1x^1 \; y respecto de x, y\; a la expresión:  1x^1 y^0 \;
    3y^2 z \; tiene grado 3
    por ser la suma de los grados de los literales:  3y^2 z^1 \;

    Monomios semejantes

    Se llaman semejantes a los monomios que tienen la misma parte literal.
    Ejemplo
    Son semejantes los monomios:
    \begin{array}{r} 5 \, x^2 y \\ a \, x^2 y \\ -7 \, x^2 y \\ x^2 y \end{array}
    pues la parte literal de todos ellos es:  x^2 y\;

    Monomios homogéneos

    Son los monomios que tienen el mismo grado absoluto, se emplean en la solución de un cierto tipo de ecuaciones diferenciales ordinarias.1

    Operaciones con monomios

    Suma y resta de monomios

    Sólo se pueden sumar o restar los monomios semejantes.
    El resultado se obtiene sumando o restando sus coeficientes:
    Ejemplo
    5x^2 y^3 + 8x^2 y^3 - 3x^2 y^3 = 10x^2 y^3
    Si los monomios no son semejantes, el resultado de la suma o resta es un polinomio.

    Producto de monomios

    Dos monomios se pueden multiplicar, efectuando el producto de los coeficientes y de las partes literales, respectivamente.
    Ejemplos
    (6x^3) \cdot (-4x^3) = -24x^6
    \left( 4x^2 \right) \cdot \left( 8x^3y \right) = 32x^5y
    \left( 5a^2b^3 \right) \cdot \left( -3ab \right) \cdot \left( 4b^2 \right) = -60a^3b^6
    \left( \frac{3}{4}x^2y^3 \right) \cdot \left( \frac{2}{3}xy \right) \cdot \left( \frac{30}{48}x^5 \right) = \frac{5}{16}x^8y^4

    Cociente de dos monomios

    El cociente de dos monomios será otro monomio sólo cuando la parte literal del dividendo es múltiplo de la parte literal del divisor.
    Ejemplos
    \frac{7x^2y}{2xy}= \frac{7}{2} x
    sí es un monomio porque: x^2 y \, es múltiplo de xy \,;
    \frac{7x^2y}{2xyz} = \frac{7x}{2z} = \frac{7}{2} \; \frac{x}{z} = \frac{7}{2} x \; \frac{1}{z} = \frac{7}{2} x z^{-1}
    no es un monomio porque: x^2 y \, no es múltiplo de xyz \, y el exponente del factor z \, (del cociente) no es un número natural.



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