lunes, 29 de febrero de 2016

operaciones con polinomios

OPERACIONES  CON  MONOMIOS
Monomio es una expresión algebraica en la que se utilizan exponentes naturales de variables literales que constan de un solo término (si hubiera una suma o una resta sería un binomio), un número llamado coeficiente. Las únicas operaciones que aparecen entre las letras son el producto y la potencia de exponentes naturales. Se denomina polinomio a la suma de varios monomios. Un monomio es una clase de polinomio con un único término.
Ejemplos:
5x^4y^6 \; , \quad -x \; , \quad 0.5 y^8w^{12}
Son monomios, pero:
x^{-1} \; , \quad 5x^{3/2}
no son monomios, porque los exponentes no son naturales monomio posee una serie de elementos con denominación específica.
Dado el monomio:
5x^3 \;
se distinguen los siguientes elementos:
El signo te indica si es negativo (–). Se omite si es positivo (+) , y nunca puede ser cero ya que la expresión completa tendría valor cero.
La parte literal la constituyen las letras de la expresión.
El grado puede ser absoluto (la suma de los exponentes de su parte literal) o con relación a una letra.
Si un monomio carece de signo, equivale a positivo (+).
Si un monomio carece de coeficiente, este equivale a uno.
Si algún término carece de exponente, este es igual a uno.
Si alguna parte literal no está presente, pero se requiere, entonces se considera con exponente cero, ya que:
\forall x \in \mathbb{R} - \{ 0 \} \; : \quad x^{0} = 1
Dada una variable x \;, un número natural a \; y un número real  \alpha \; la expresión:
\alpha \cdot x^a = \alpha x^a
es un monomio.
Si tenemos varias variables: x_1,\ldots,x_n, el número real  \alpha \; y los números naturales a_1,\ldots,a_n \,, el producto correspondiente:
\alpha \cdot x_1^{a_1}\cdot x_2^{a_2}\cdot\ldots \cdot x_n^{a_n} = \alpha x_1^{a_1} x_2^{a_2}\ldots x_n^{a_n} = \alpha \prod_{i=1}^{n}x_{i}^{a_{i}}
también es un monomio.

Grado de un monomio

El grado absoluto de un monomio es igual a la suma de los exponentes de las variables que lo componen.
Ejemplos
5x^2 y \; tiene grado 3
pues equivale a la expresión:  5\cdot x^2 \cdot y^1 \; y la suma de los exponentes es 2 + 1 = 3
x \; tiene grado 1
pues equivale a  1x^1 \; y respecto de x, y\; a la expresión:  1x^1 y^0 \;
3y^2 z \; tiene grado 3
por ser la suma de los grados de los literales:  3y^2 z^1 \;

Monomios semejantes

Se llaman semejantes a los monomios que tienen la misma parte literal.
Ejemplo
Son semejantes los monomios:
\begin{array}{r} 5 \, x^2 y \\ a \, x^2 y \\ -7 \, x^2 y \\ x^2 y \end{array}
pues la parte literal de todos ellos es:  x^2 y\;

Monomios homogéneos

Son los monomios que tienen el mismo grado absoluto, se emplean en la solución de un cierto tipo de ecuaciones diferenciales ordinarias.1

Operaciones con monomios

Suma y resta de monomios

Sólo se pueden sumar o restar los monomios semejantes.
El resultado se obtiene sumando o restando sus coeficientes:
Ejemplo
5x^2 y^3 + 8x^2 y^3 - 3x^2 y^3 = 10x^2 y^3
Si los monomios no son semejantes, el resultado de la suma o resta es un polinomio.

Producto de monomios

Dos monomios se pueden multiplicar, efectuando el producto de los coeficientes y de las partes literales, respectivamente.
Ejemplos
(6x^3) \cdot (-4x^3) = -24x^6
\left( 4x^2 \right) \cdot \left( 8x^3y \right) = 32x^5y
\left( 5a^2b^3 \right) \cdot \left( -3ab \right) \cdot \left( 4b^2 \right) = -60a^3b^6
\left( \frac{3}{4}x^2y^3 \right) \cdot \left( \frac{2}{3}xy \right) \cdot \left( \frac{30}{48}x^5 \right) = \frac{5}{16}x^8y^4

Cociente de dos monomios

El cociente de dos monomios será otro monomio sólo cuando la parte literal del dividendo es múltiplo de la parte literal del divisor.
Ejemplos
\frac{7x^2y}{2xy}= \frac{7}{2} x
sí es un monomio porque: x^2 y \, es múltiplo de xy \,;
\frac{7x^2y}{2xyz} = \frac{7x}{2z} = \frac{7}{2} \; \frac{x}{z} = \frac{7}{2} x \; \frac{1}{z} = \frac{7}{2} x z^{-1}
no es un monomio porque: x^2 y \, no es múltiplo de xyz \, y el exponente del factor z \, (del cociente) no es un número natural.



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